Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

附个代码：

1 #include
     
       2 #include
      
        3 #include
       
         4 using namespace std; 5  6 const int maxn=99999; 7 bool visit[101];//判断是否走过  8 int dis[101];//记录每条边的长度  9 int cmp[101][101],path[101];10 int n,m,u,v,h,a,e,k;11 int min1; 12 13 void sc(int s)14 {15     for(int i=1;i<=n;i++)16     {17         dis[i]=cmp[s][i];18         if(dis[i]!=maxn)//记录路径19         path[i]=s;20         else21         path[i]=0;22     }23     visit[s]=true;24     dis[s]=0;25     for(int i=1;i<=n-1;i++)//因为第一个数已确定，所以循环n-1次 26     {27         min1=maxn;28         k=s;29         for(int j=1;j<=n;j++)//查找最小值 30         {31             if(!visit[j]&&dis[j]
        
         cmp[k][w]+dis[k])41             {42                 dis[w]=cmp[k][w]+dis[k];43                 path[w]=k;44             }45         } 46     }47     cout<
         
          <
          
           =1;i--)65 {66 if(i!=1)67 cout<
           
            <<"-->";68 else69 cout<
            
             <
             
              >n>>m;76 for(int i=1;i<=m;i++)//初始化77 for(int j=1;j<=m;j++)78 cmp[i][j]=maxn;79 /*memset(cmp,maxn,sizeof(cmp));*/80 for(int i=1;i<=m;i++)81 {82 cin>>u>>v>>h;83 cmp[u][v]=cmp[v][u]=h;//无向图，可逆 84 }85 for(int i=1;i<=m;i++)//初始化86 dis[i]=maxn;87 cin>>a>>e;88 sc(a);89 out(a,e);90 return 0;91 }